先に棒―連続体の力学序論―を参照することを強く推奨します。
応力テンソル
物体内部の力の状態は応力テンソル$\boldsymbol{\sigma}$によって記述されます。
応力テンソルは次式で定義されます。
(1)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}da=\boldsymbol{t} \end{align}
ここに、$\boldsymbol{n}$は物体内部の微小要素を取り出し、その表面の微小面積素の単位法線ベクトル（外向き）です。$da$はそのような微小面積素の面積を表します。$\boldsymbol{t}$はそのよううな微小面積素に作用している外力です。
従って、実際のところ、応力テンソルが表してるのは外力なのです。
連続体の力の釣り合い式の導出
エネルギー原理や仮想仕事の原理から出発すると力の釣り合い式が導けます。しかしこれらは本来、次節以降で示されるように、力の釣り合い式を書き換えたものです。ここでは、もっと確からしい方法で導出します。
固定されていない連続体が外力を受けながら静止している状態を考えます。固定されていた場合、固定領域に働いていた力を作用させ続けながらその固定を外せば、静止したままです。
連続体全体の外力の釣り合いは、
(2)
\begin{align} \int_a{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}da}+\int_v{\boldsymbol{f}dv}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
です。左辺第一項は表面の面積領域に働いている力の合力で、応力テンソルの定義から明らかです。第二項は物体内部の体積領域に働いている力の合力で、重力や磁力などが該当します。しばしば体積力と呼ばれ、通常は重力のみ考えます。従って体積力の合力は連続体の総質量です。
連続体に作用している外力が総て列挙されていることを確認してください。
さて、左辺第一項はガウスの発散定理により
(3)
\begin{align} \int_a{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}da}=\int_v{\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}dv} \end{align}
と書き換えられますので、
(4)
\begin{align} \int_v{\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}dv}+\int_v{\boldsymbol{f}dv}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
と書き換えられます。さらに、連続体の内部の十分微小な領域を切り取っても上記の議論は成立します。十分微小な領域を切り取れば、そのなかで応力テンソル$\boldsymbol{\sigma}$や物体力$\boldsymbol{f}$は一定とすることができますから、
(5)
\begin{align} \lim_{v\to 0}\int_v{\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}dv}+\int_v{\boldsymbol{f}dv}=\vec{\boldsymbol{0}}\Rightarrow \mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
として連続体内部の力の釣り合い式を得ます。
連続体内部の力の釣り合い式
連続体の応力と外力の釣り合い式は、
(6)
\begin{align} \mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
として与えられます。外力は単位堆積当たりの力ですので、基本的に物体力（質量）や磁場中では磁力となります。我々の想像するような外力は、一般的に境界に表面力として作用していますので注意が必要です。
物体力（質量)を無視すれば、
(7)
\begin{align} \mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
となります。これは自己釣り合い応力場の条件です。成分が9つ（普通は対象テンソルなので6つ)なのに対し方程式は3つですから、これだけでは一通りに決まりません。
以下では、
(8)
\begin{equation} A+B=0 \end{equation}
の形式を釣り合い式と呼び、
(9)
\begin{equation} A=B \end{equation}
の形式を適合条件と呼ぶならば、6式は確かに釣り合い式で、「応力テンソルの発散と物体力が釣り合っている」という意味になります。逆に
(10)
\begin{align} -\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{f} \end{align}
と書くと「応力テンソルの発散と物体力はよく適合していなければならない」という意味になります。日本語で書くと少し意味不明です。
連続体表面での力の釣り合い式
応力テンソルの定義が
(11)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}da=\boldsymbol{t} \end{align}
と定義されました。
連続体の表面に作用する単位面積当たりの力を$\boldsymbol{F}$と定義すれば
(12)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{F} \end{align}
と書けます。
$\boldsymbol{F}$は表面力と呼ばれます。
これは、「応力テンソルは、連続体の表面で表面力とよく適合していなければならない」という意味です。
釣り合い式と呼ばれますが、実体は力学的な適合条件とか、微分方程式$\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\vec\boldsymbol{0}}$に対する境界条件と考えるのが適当でしょう。
とにもかくにも、応力テンソルの定義を参照すれば
(13)
\begin{align} -\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}+\boldsymbol{F}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
と書くのは適当とは言えません。（これは一つの立場の表明で、論理的ではありません）
仮想仕事の原理への書き換え
以上より、連続体の力の釣り合いは
(14)
\begin{align} \mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\vec{\boldsymbol{0}}\ (\mathrm{in}\ v) \end{align}
と
(15)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{F}\ (\mathrm{on}\ a) \end{align}
の連立方程式となります。
ここで、$v$を連続体内部の体積領域、$a$を連続体の表面の面積領域としました。
以下、$dv$をvにおける体積素、$da$をaにおける面積素とします。
さて、この二本の釣り合い式を一本に統合してみます。
そのために勝手なベクトル場$\delta\boldsymbol{u}$を用意します。文脈によって、仮想変位場、変分ベクトル場、重みベクトル場などと呼ばれます。以下では仮想変位と呼びます。
(16)
\begin{align} \int_a{\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\delta\boldsymbol{u}da}=\int_v{\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot\delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
と書けます。$\delta \boldsymbol{u}$の任意性より逆に書き戻すことも可能です。
つまり任意の点に対してそこでのみ$\delta\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}_1$、$\delta\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}_2$、また$\delta\boldsymbol{u}=\boldsymbol{g}_3$などと与え、他の場所に0をセットすることで、(6)式や(11)式が領域内の総ての点について得られます。
応力テンソルとは、いったいどのような一般力なのか考察しましょう。そのためには応力テンソルの微分を外す必要があります。このとき、部分積分を使う、というのが共通の手続きになっています。
一般に、部分積分は
(17)
\begin{align} \int_v{\left(\mathrm{div}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}\right)dv}=\int_v{\left(-\boldsymbol{F}:\boldsymbol{g}\otimes\nabla\right)dv}+\int_a{\left(\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\boldsymbol{g}da} \end{align}
として与えられます。これを右辺第一項に適用すると
(18)
\begin{align} \int_a{\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\delta\boldsymbol{u}da}=-\int_v{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla dv}+\int_a{\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\delta\boldsymbol{u}da} \int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
左辺と右辺第二項が打ち消しあいます。さらに右辺第一項を左辺に移行して
(19)
\begin{align} \int_v{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{u}\otimes\nabla dv}=\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
ここで、
(20)
\begin{align} \delta \boldsymbol{e}=\delta \boldsymbol{u}\otimes\nabla \end{align}
と書くという約束を導入すると（これは定義というよりは、命名規則です）
(21)
\begin{align} \int_v{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{e} dv}=\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
このようにして、連続体における仮想仕事の原理が得られました。
釣り合い式の復元
今度は仮想仕事の原理から出発しましょう。上記の事柄を忘れて、ただ信じてみましょう。何がおきるでしょうか。
(22)
\begin{align} \int_v{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{e} dv}=\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
目標は、$\delta \boldsymbol{u}$を一番外に括り出すことです。そうすると、$\delta \boldsymbol{u}$が外れて、手計算や数値計算で解きやすい形の微分方程式が得られます。
まず、
(23)
\begin{align} \delta \boldsymbol{e}=\delta \boldsymbol{u}\otimes\nabla \end{align}
を代入して、
(24)
\begin{align} \int_v{\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{u} \otimes\nabla dv}=\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
次に部分積分
(25)
\begin{align} \int_v{\left(\boldsymbol{F}:\boldsymbol{g}\otimes\nabla\right)dv}=-\int_v{\left(\mathrm{div}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{g}\right)dv}+\int_a{\left(\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\boldsymbol{g}da} \end{align}
を適用して、
(26)
\begin{align} -\int_v{\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}\cdot\delta\boldsymbol{u} dv}+\int_a{\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\right)\cdot\delta\boldsymbol{u}da}=\int_v{\boldsymbol{f}\cdot\delta\boldsymbol{u}dv}+\int_a{\boldsymbol{F}\cdot \delta\boldsymbol{u}da} \end{align}
$\delta\boldsymbol{u}$の任意性よりいかなる仮想変位に対しても上式が満たされるためには
(27)
\begin{align} -\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{f}\Leftrightarrow \mathrm{div}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
(28)
\begin{align} \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}=\boldsymbol{F} \end{align}
が連続体内部、表面の総ての場所で満たされていることが必要十分です。
このようにして、あたかも仮想仕事の原理から力の釣り合い式が演繹されたように見え、仮想仕事の原理に神秘性が付与されることとなります。
