以下の解説は解析力学入門に対する注釈になっています。
てこの原理
上図のようなてこが釣り合いの状態にあるとします。このとき、仮想仕事の原理は
(1)
\begin{align} \delta w=p\delta P+q\delta Q=0 \end{align}
と書けます。$\delta P,\ \delta Q$は仮想変位です。力と同じ向きの時正とします。
さて、二つの仮想変位は独立ではありません。
(2)
\begin{align} \delta P:\delta Q=A:-B \end{align}
なる幾何学的適合条件が存在します。勝手な変数$\delta \theta$を用いて、
(3)
\begin{align} \delta P=A\delta \theta \end{align}
(4)
\begin{align} \delta Q=-B\delta \theta \end{align}
と書けますから、仮想仕事の原理は
(5)
\begin{align} \delta w=pA\delta\theta-qB\delta\theta=0 \end{align}
と書けます。
さらに、
(6)
\begin{align} \delta w=\left(pA-qB\right)\delta\theta=0 \end{align}
$\delta \theta$の任意性より
(7)
\begin{align} pA-qB=0\therefore pA=qB \end{align}
としてテコの原理を得ます。
まとめると
(8)
\begin{align} p\delta P+q\delta Q=0\Leftrightarrow pA\delta \theta-qB\delta \theta=0\Leftrightarrow (pA-qB)\delta \theta=0\Leftrightarrow pA=qB \end{align}
(9)
\begin{align} \because \delta P=A\delta \theta,\ \delta Q=-B\delta \theta \end{align}
ですから、逆に辿ることも可能です。
さて、仮想仕事の原理はどのように読むことができるでしょうか。
$pA$と$qB$は$\theta$を変化させるような力である、と自然に読むことが出来はしないでしょうか。もちろん$\theta$が棒の角度を表すことはいうまでもありません。
唐突かもしれませんが、天秤、というのはそもそも角度の変化を可視化を目的とした道具です。
質点の釣り合い
質点が複数の外力を受け、釣り合っているとします。仮想仕事の原理は
(10)
\begin{align} \delta w=\boldsymbol{f}_1\cdot\delta\boldsymbol{r}+\boldsymbol{f}_2\cdot\delta\boldsymbol{r}+\cdots=0 \end{align}
と書けます。
さて、
(11)
\begin{align} \delta w=\left(\boldsymbol{f}_1+\cdots\right)\cdot\delta\boldsymbol{r}=0 \end{align}
と書き換えられます。$\delta \boldsymbol{r}$の任意性より質点の釣り合い式
(12)
\begin{align} \boldsymbol{f}_1+\cdots=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
を得ます。
成分ごとに書き下す場合は、まず仮想仕事の原理が
(13)
\begin{align} \delta w=f_{1x}\delta u_x+f_{2x}\delta u_x+\cdots+f_{1y}\delta u_y+f_{2y}\delta u_y+\cdots+f_{1z}\delta u_z+f_{2z}\delta u_z+\cdots=0 \end{align}
と表されます。次に
(14)
\begin{align} \delta w=\left(f_{1x}+f_{2x}\cdots\right)\delta u_x+ \left(f_{1y}+f_{2y}\cdots\right)\delta u_y+ \left(f_{1z}+f_{2z}\cdots\right)\delta u_z=0 \end{align}
ですから、$\delta u_x,\ \delta u_y,\ \delta u_z$の任意性より質点の力の釣り合いとして、連立方程式
(15)
\begin{align} f_{1x}+f_{2x}\cdots=0 \end{align}
(16)
\begin{align} f_{1y}+f_{2y}\cdots=0 \end{align}
(17)
\begin{align} f_{1z}+f_{2z}\cdots=0 \end{align}
を得ます。
まとめると
(18)
\begin{align} \sum_j{\left(\boldsymbol{f}_j\cdot \delta \boldsymbol{r}\right)}=0 \Leftrightarrow \left(\sum_j{\boldsymbol{f}_j}\right)\cdot \delta \boldsymbol{r}=0 \Leftrightarrow \sum_j{\boldsymbol{f}_j}=\vec{\boldsymbol{0}} \end{align}
ですから逆に辿ることも可能です。
滑車の釣り合い
仮想仕事の原理を
(19)
\begin{align} \delta w=f\delta h+F\delta H=0 \end{align}
と書いてみましょう。
紐の張力は（摩擦がなければ）一様ですから図のように、
(20)
\begin{equation} f=4F \end{equation}
です。これを代入して、
(21)
\begin{align} \delta w=4F\delta h+F\delta H=0 \Leftrightarrow 4\delta h=-\delta H \end{align}
を得ます。これは、図より、ひもの長さが一定であるために満たされなければならない幾何学的適合条件です。（ここで、仮想変位は力と同じ向きの時正となっていることに注意してください）
逆に幾何学的適合条件
(22)
\begin{align} \delta H=-4\delta h \end{align}
を代入すると力の釣り合い式
(23)
\begin{align} f\delta h-4F\delta h=0\Leftrightarrow (f-4F)\delta h=0\Leftrightarrow f=4F \end{align}
を得ます。もちろん、逆もたどれます。
